Artigo sobre o infinito

Histórico de Matemática apresenta problemas especiais. Será que um se concentrar exclusivamente sobre os aspectos matemáticos do tópico ou não se considerar os aspectos filosóficos e até religiosos? Neste artigo vamos dar a ideia de que, historicamente, não se pode separar os aspectos filosóficos e religiosos de os matemáticos, uma vez que desempenham um papel importante na forma como as ideias desenvolvidas. Isto é particularmente verdadeiro em tempos antigos gregos, como Knorr escreve em:

• A interação de filosofia e matemática raramente é revelado de forma tão clara como no estudo do infinito entre os antigos gregos. Os quebra-cabeças dialéticas do século quinta-Eleatics, afiadas por Platão e Aristóteles , no século IV, são complementados pela invenção de métodos precisos de limites, tal como aplicado por Eudoxus no século IV e Euclides e Arquimedes no terceiro.

É claro que a partir do momento as pessoas começaram a pensar sobre o mundo em que viviam, perguntas sobre o infinito surgiu. Houve perguntas sobre o tempo. Será que o mundo veio à existência num instante particular ou teria sempre existido? Será que o mundo ir para sempre ou havia um fim finito? Em seguida, houve perguntas sobre o espaço. O que aconteceu quando se manteve viajando em uma direção particular? Será que um alcance o fim do mundo ou se podia viajar para sempre? Mais uma vez acima da terra pode-se ver as estrelas, planetas, o sol ea lua, mas foi este espaço finito ou fazê-lo ir para sempre?

As perguntas acima são muito fundamental e deve ter pensadores conturbados história muito antes registrados. Havia perguntas mais sutis sobre o infinito, que também foram solicitados numa fase em que as pessoas começaram a pensar profundamente sobre o mundo. O que aconteceria se um corte um pedaço de madeira em dois pedaços, em seguida, voltou a reduzir uma das peças em dois e continuou a fazer isso. Alguém poderia fazer isso para sempre?

Devemos começar a nossa conta do infinito com o "século V eleático " Zeno . Os antigos gregos tinham se deparar com o problema do infinito, numa fase inicial do seu desenvolvimento da matemática e da ciência. Em seu estudo da matéria eles perceberam a questão fundamental: pode-se continuar a dividir a matéria em pedaços cada vez menores ou que se alcance um pequeno pedaço que não pode ser dividido mais. Pitágoras havia argumentado que "tudo é número" e seu universo era constituído de números naturais finitos. Em seguida, houve atomistas, que acreditavam que a matéria era composta de um número infinito dos indivisíveis. Parmênides ea escola eleata , que incluiu Zeno , argumentou contra os atomistas. No entanto Zeno paradoxos 's mostram que tanto a crença de que a matéria é continuamente divisível e a crença em uma teoria atômica tanto levou a contradições aparentes.

É claro que esses paradoxos surgem do infinito. Aristóteles não parecem ter apreciado inteiramente o significado de Zenão argumentos, mas o infinito fez preocupá-lo, no entanto. Ele apresentou uma ideia que iria dominar a pensar por dois mil anos e ainda é um argumento convincente para algumas pessoas hoje. Aristóteles argumentou contra a infinito real e, em seu lugar, ele considerou o potencial infinito. Sua idéia era que nós nunca podemos conceber os números naturais como um todo. No entanto, eles são potencialmente infinito, no sentido de que, dada toda a coleção finita podemos sempre encontrar um conjunto finito maior.

De relevância para a nossa discussão é o avanço notável feito pelos babilônios, que introduziu a ideia de um sistema de numeração posicional, que, pela primeira vez, permitiu uma representação concisa de números sem limite para o seu tamanho. Apesar sistemas numéricos posicionais, Aristóteles argumento é bastante convincente. Apenas um número finito de números naturais já foi escrito para baixo ou jamais foi concebido. Se L é o maior número concebido, até agora, então vou ir mais longe e anote L + 1, ou L 2 , mas ainda apenas um número finito de ter sido concebido. Aristóteles discutimos isso nos capítulos 4-8 do Livro III da Física, onde ele afirmou que negar que o infinito real existe e permitindo apenas o infinito potencial seria nenhuma dificuldade para os matemáticos: 

• Nossa conta não rouba os matemáticos de sua ciência, por refutar a existência real do infinito na direção do aumento, no sentido da untransversable. Na verdade eles não precisam do infinito e não usá-lo. Eles postulam apenas que a linha reta finita pode ser produzido tanto quanto quiserem.

Cantor , mais de dois mil anos mais tarde, argumentou que Aristóteles estava fazendo uma distinção que foi apenas em seu uso de palavras: 

... Na verdade, o potencialmente infinito tem apenas uma realidade emprestado, na medida em que um conceito potencialmente infinito sempre aponta para um conceito realmente infinito logicamente anterior cuja existência depende.

Chegaremos a Cantor idéias 's para o fim deste artigo, mas por enquanto vamos considerar o efeito Aristóteles tinha sobre os matemáticos gregos mais tarde, permitindo apenas que o potencialmente infinito, em especial sobre Euclides ; ver, por exemplo [ 36 ]. Como, então, pode-se perguntar, foi Euclides capaz de provar que o conjunto de números primos é infinito em 300 aC? Bem, a resposta é que Euclides não provou isso no . Elements Este é apenas um fraseado moderna do que Euclides realmente declarado como seu teorema que, segundo Heath tradução 's, lê-se: 

• Os números primos são mais do que qualquer magnitude atribuído dos números primos.

Então, na verdade o que Euclides provou foi que os números primos são potencialmente infinito, mas, na prática, é claro, isso equivale à mesma coisa. Sua prova mostra que o dado qualquer conjunto finito de números primos, deve haver um número primo não na coleção.

Devemos discutir outros aspectos do infinito, que desempenham um papel crucial nas Elements. Há Euclides explica o método da exaustão devido a Eudoxo de Cnido. Muitas vezes, agora este método é pensado como considerando o círculo como o limite de polígonos regulares como o número de lados aumenta ao infinito. Devemos enfatizar fortemente, no entanto, que esta não é a maneira que os antigos gregos olhou para o método. Pelo contrário, foi um argumento reductio ad absurdum que evitou o uso do infinito. Por exemplo, para revelar duas zonas A e B iguais, o método de se supor que a área A foi menos do que B e em seguida derivar uma contradição após um número finito de passos. Mais uma vez assumindo a área B foi inferior a A também levou a uma contradição em um número finito de passos.

Recentemente, no entanto, a evidência veio à luz o que sugere que nem todos os matemáticos gregos antigos se sentiram constrangidos a lidar apenas com o potencialmente infinito. Os autores de ter notado uma forma notável que Archimedes investiga um número infinito de objetos em O Método no Archimedes palimpsesto: 

... Archimedes leva três pares de magnitudes infinitas em número e afirma que eles são, respectivamente, "iguais em número". ... Nós suspeitamos que pode não haver outros lugares conhecidos em matemática grega - ou, na verdade, na antiga escrita grega - onde objetos em número infinito estão a ser dito "iguais em magnitude". ...

A própria sugestão de que certos objetos, infinitos em número, são "iguais em magnitude" para os outros implica que nem todos os objectos, em número infinito, são tão iguais. ... Temos aqui um número infinito de objetos - Tendo em magnitudes definidas e diferentes (ou seja, quase tem número); tais magnitudes são manipulados de forma concreta, aparentemente por algo um pouco como uma one-one correspondência. ... ... Neste caso Archimedes discute infinitos reais quase como se eles possuíam números no sentido usual ...

Mesmo que a maioria dos matemáticos aceitou Aristóteles 's argumentos potencialmente infinitas, outros defenderam para os casos de infinito real, outros defenderam para os casos de infinito real. No primeiro século aC Lucrécio escreveu seu poema De Rerum Natura no qual argumentava contra um universo delimitado no espaço. Seu argumento é simples. Suponha que o universo fosse finito assim que tinha que haver um limite. Agora, se alguém se aproximou desse limite e jogou um objeto em que não poderia haver nada para detê-lo já que qualquer coisa que parou seria mentir para além do limite e nada existe fora do universo por definição. Sabemos agora, é claro, que o argumento de Lucrécio é falsa, já que o espaço poderia ser finito sem ter um limite. No entanto, por muitos séculos o argumento de fronteira dominaram o debate sobre se o espaço era finito.

Tornou-se, em grande parte teólogos que argumentavam a favor do infinito real. Por exemplo St Augustine, o filósofo cristão que construiu grande parte de Platão filosofia 's para o cristianismo nos primeiros anos do 5 º século dC, argumentou em favor de um Deus infinito e também um Deus capaz de pensamentos infinitos. Ele escreveu em sua obra mais famosa Cidade de Deus : 

• Tal como dizer que as coisas são infinitas passado o conhecimento de Deus pode assim como pular de cabeça em esta pit de impiedade, e dizer que Deus não conhece todos os números. ... O louco diria isso? ... O que vamos dizer desgraçados que se atrevem a pretensão de limitar o seu conhecimento.

Matemáticos indianos trabalhavam na introdução de zero em seu sistema de número ao longo de um período de 500 anos, começando com Brahmagupta no 7 th Century. O problema que eles lutaram com era como fazer o respeito zero as operações usuais da aritmética. Bhaskara II escreveu em Bijaganita: 

• Uma quantidade dividido por zero torna-se uma fracção cujo denominador é zero. Esta fracção é denominada uma quantidade infinita. Neste quantidade composta por aquilo que tem zero por sua divisor, não há alteração, apesar de muitos pode ser inserido ou extraído; como nenhuma mudança ocorre no Deus infinito e imutável quando os mundos são criados ou destruídos, apesar de inúmeras ordens de seres são absorvidos ou colocar diante.

Era uma tentativa de trazer o infinito, bem como zero, no sistema de numeração. É claro que isso não funciona, pois se fosse introduzido como Bhaskara II sugere então 0 vezes infinito deve ser igual a todo número n , então todos os números são iguais.

Tomás de Aquino, o teólogo e filósofo cristão, usou o fato de que não havia um número para representar o infinito como um argumento contra a existência do infinito real. Na Summa theologia, escrito na 13 th Century, Tomás de Aquino escreveu: 

• A existência de uma multidão infinita real é impossível. Para qualquer conjunto de coisas que se considera deve ser um conjunto específico. E conjuntos de coisas são especificados pelo número de coisas em si. Agora nenhum número é infinito, para resultados Número de contagem através de um conjunto de unidades. Assim, nenhum conjunto de coisas que podem realmente ser inerentemente ilimitado, nem pode acontecer de ser ilimitado.

Essa objeção é de fato um razoável e na hora de Aquino não tinha uma resposta satisfatória. Um conjunto infinito real requer uma medida, e essa medida não parecia possível de Aquino. Temos que avançar para Cantor perto do final do 19 th Century antes de uma medida satisfatória para conjuntos infinitos foi encontrado. O artigo analisa: 

... Argumentos matemáticos usados ​​por dois teólogos do século XIII, Alexander Nequam e Richard Fishacre, para defender a consistência do infinito divino. 

Em conexão com os seus argumentos, a seguinte questão é levantada: Por que os teólogos julgar oportuno recorrer a exemplos matemáticos em abordar uma questão puramente teológico?

Indução matemática começou a ser usado centenas de anos antes de qualquer formulação rigorosa do método foi feita. Fê proporcionar uma técnica para proposições que comprovem fosse verdade para um número infinito de valores inteiros. Por exemplo al-Karaji por volta de 1000 dC usavam uma forma não-rigorosa de indução matemática em seus argumentos. Basicamente, o que al-Karaji fez foi demonstrar um argumento para n = 1, então provar o caso n = 2 com base no seu resultado de n = 1, então provar o caso n = 3 com base no seu resultado de n = 2, e transportar para cerca de n = 5 antes de ressaltar que se poderia continuar o processo indefinidamente. Por estes métodos, ele deu uma bela descrição de gerar os coeficientes binomial usando Pascal triângulo "s.

Pascal não sabia sobre al-Karaji 's trabalho em Pascal "triângulo s, mas ele sabia que Maurolico tinha usado um tipo de argumento indução matemática no meio da 17 th Century. Pascal , que defina a sua versão do Pascal triângulo 's escreve: 

• Mesmo que essa proposição pode ter um número infinito de casos, darei um curto prova disso assumindo dois lemas. A primeira, que é auto-evidente, é que a proposta é válido para a segunda linha. A segunda é que, se a proposição é válida para qualquer linha, então ele deve necessariamente ser válida para a linha seguinte. A partir disto, pode ser visto que ele é necessariamente válido para todas as linhas; por isso é válido para a segunda fila pela primeira lema; em seguida, pelo segundo lema deve ser verdade para a terceira fila, e, consequentemente, para o quarto, e assim por diante até o infinito.

Depois mudou-se para a frente no tempo acompanhando o progresso de indução, vamos voltar um pouco para ver os argumentos que foram sendo feitas sobre um universo infinito. Aristóteles modelo universo finito 's com nove esferas celestes centrado na Terra tinha sido a visão aceita mais de um longo período. Não era sem oposição, no entanto, e já vimos o argumento de Lucrécio em favor de um universo infinito. Nicolau de Cusa no meio da 15 th Century era um cientista brilhante que argumentou que o universo era infinito e que as estrelas eram sóis distantes . By the 16 th Century, a Igreja Católica na Europa começou a tentar acabar com tais heresias. Giordano Bruno não era um matemático ou um cientista, mas ele argumentou vigorosamente o caso de um universo infinito.

No universo infinito e mundos (1584). Trazido diante da Inquisição, ele foi torturado durante nove anos, na tentativa de fazê-lo concordar que o universo era finito. Ele se recusou a mudar seus pontos de vista e ele foi queimado na fogueira em 1600.

Galileo estava ciente de de Bruno destino 's nas mãos da Inquisição e ele tornou-se muito cauteloso em apresentar seus pontos de vista. Ele abordou o tema do infinito em Discursos e Dimostrazioni matematiche intorno um scienze nuove devido (1638), onde estudou o problema de dois círculos concêntricos com centro O , o maior círculo A com diâmetro duas vezes maior que o menor B . A fórmula familiar dá a circunferência de um para ser duas vezes a de B . Mas tomar qualquer ponto P no círculo A , então OP corta círculo B em um só ponto. Da mesma forma, se Q é um ponto em B , em seguida, OQ produzido cortes círculo A exatamente um ponto. Embora a circunferência de uma a duas vezes o comprimento da circunferência de B têm o mesmo número de pontos. Galileu proposta a adição de um número infinito de infinitamente pequenas aberturas ao comprimento menor para torná-la igual ao maior ainda permitir que eles têm a mesma número de pontos. Ele escreveu:

• Estas dificuldades são reais; e eles não são os únicos. Mas lembremo-nos de que estamos lidando com infinitos e indivisíveis, os quais transcendem a nossa compreensão finita, o antigo por conta de sua magnitude, este último por causa de sua pequenez. Apesar disso, os homens não podem se abster de discuti-los, mesmo que isso deve ser feito de uma forma indireta.

No entanto, Galileu argumentou que as dificuldades surgiu porque: 

... A gente tenta, com nossas mentes finitas, para discutir o infinito, atribuindo-lhe propriedades que damos para o finito e limitado; mas eu acho que isso é errado, pois não podemos falar de quantidades infinitas como sendo o maior ou menor ou igual a outro.

Ele então deu um outro paradoxo semelhante ao paradoxo círculo ainda desta vez com números de modo nenhum indivisíveis infinitos poderiam ser inseridos para corrigir a situação. Ele produziu a correspondência padrão de um-para-um entre os números inteiros positivos e suas praças. Por um lado, esta mostrou que havia o mesmo número de quadrados que havia números inteiros. No entanto a maioria dos números não eram quadrados perfeitos. Galileo diz que isso significa apenas que: 

... A totalidade de todos os números é infinito, e de que o número de quadrados é infinito .; nem é o número de quadrados menos do que a totalidade de todos os números, nem o último maior do que o primeiro; e, por fim, os atributos, "maior", quantidades finitas "igual" e "menos" não são aplicáveis ​​ao infinito, mas apenas para.

Em Knobloch toma um novo olhar sobre esta obra de Galileu . No mesmo artigo Leibniz 'definições cuidadosas s do infinitesimal eo infinito em termos de procedimentos limite são examinados. Leibniz 's desenvolvimento do cálculo foi construída sobre as idéias do infinitamente pequeno que tem sido estudado por um longo tempo.

Cavalieri escreveu Geometria continuorum indivisibilibus (1635), em que ele pensou em linhas como composto de um número infinito de pontos e áreas a ser composto de um número infinito de linhas. Ele deu métodos bastante rigorosos de comparando áreas, conhecidas como o "Princípio de Cavalieri ". Se uma linha é deslocado paralelamente a si através de duas zonas e se a razão entre os comprimentos da linha dentro de cada área é sempre um : b , em seguida, a relação entre as áreas é um : b .

Roberval foi mais longe no caminho do pensamento de linhas como sendo a soma de um número infinito de pequenas partes indivisíveis. Ele introduziu métodos para comparar os tamanhos dos indivisíveis por isso mesmo que eles não têm uma magnitude-se se poderia definir proporções de suas magnitudes. Foi um verdadeiro passo em frente em lidar com processos infinitos já que pela primeira vez que ele foi capaz de ignorar magnitudes que eram pequenos em comparação com outros. No entanto, houve uma diferença entre ser capaz de usar o método corretamente e escrever as condições rigorosamente precisos quando ele iria trabalhar. Consequentemente paradoxos surgiu o que levou alguns a querem o método dos indivisíveis de ser rejeitada.

O Colégio Romano rejeitou indivisíveis e proibiu seu ensino em jesuíta Colleges em 1649. A Igreja não tinha conseguido silenciar de Bruno , apesar de colocá-lo à morte, ele não tinha conseguido silenciar Galileo apesar colocá-lo sob prisão domiciliar e não iria parar o progresso em direção ao diferencial e cálculo integral, proibindo o ensino dos indivisíveis. Pelo contrário, a Igreja só forçaria matemáticos para lutar por maior rigor em face de críticas.

O ∞ símbolo que usamos para a infinidade de hoje, foi utilizado pela primeira vez por John Wallis que a utilizou em De sectionibus conicis em 1655 e novamente em Arithmetica infinitorum em 1656. Ele escolheu-o para representar o fato de que um poderia atravessar a curva de infinitas vezes.

Três anos mais tarde Fermat identificada uma importante propriedade dos inteiros positivos, ou seja, que não continha uma sequência decrescente infinita. Ele fez isso na introdução do método de descida infinita 1659: ... Nos casos em que os métodos comuns dadas em livros se revelarem insuficientes para lidar com tais proposições difíceis, eu finalmente encontrei uma maneira inteiramente singular de lidar com eles. Eu chamo esse método de provar descida infinita ...

O método consistiu em demonstrar que se uma proposição era verdade para algum valor inteiro positivo n , em seguida, também era verdade para algum valor inteiro positivo inferior a n . Uma vez que nenhuma cadeia descendente infinita existia nos inteiros positivos tal prova renderia uma contradição. Fermat usou seu método para provar que não havia soluções inteiras positivas para

x 4 + y 4 = z 4 .

Newton indivisíveis rejeitada em favor da sua fluxão que foi uma medida da variação instantânea de uma quantidade. É claro que o infinito não foi evitada, uma vez que ele ainda teve que considerar incrementos infinitamente pequenas. Esta foi, de certa forma, Newton 's resposta para Zeno 's problema seta:

• Se, diz Zeno , tudo está em repouso ou em movimento quando se ocupa um espaço igual a si mesmo, enquanto o objecto se moveu é no instante, a seta em movimento é indiferente.

Newton fluxions 's produziu resultados matemáticos maravilhosas, mas muitos estavam preocupados com a sua utilização de incrementos infinitamente pequenas. George Berkeley famosa frase 's resumiu as acusações de forma sucinta:

• E quais são esses fluxions? As velocidades de incrementos evanescentes. E o que são esses mesmos incrementos evanescentes? Eles não são nem quantidades finitas, nem quantidades infinitamente pequenas, nem mesmo assim nada. Não podemos chamá-los de fantasmas de quantidades que partiram?

Newton acreditava que o espaço é, de fato infinito e não meramente indefinidamente grande. Ele alegou que tal infinito poderia ser entendida, sobretudo usando argumentos geométricos, mas não poderia ser concebido. Isso é interessante, pois, como veremos a seguir, outros argumentaram contra o infinito real usando o fato de que ele não poderia ser concebido.

O problema de saber se o espaço eo tempo são infinitamente divisível continuou a problemas pessoas. O filósofo David Hume argumentou que havia um tamanho mínimo perceptível no Tratado da Natureza Humana (1739): 

• Coloque um pouco de tinta sobre papel, fixar a sua atenção sobre o local, e retirar-se para uma distância tal que, finalmente, você perde-lo de vista; 'Tis claro que o momento antes de desaparecer a imagem ou impressão foi perfeitamente indivisível.

Immanuel Kant argumentou em A Crítica da Razão Pura (1781) que o infinito real não pode existir, pois não pode ser percebido: 

... A fim de conceber o mundo, que preenche todo o espaço, como um todo, a síntese sucessiva das partes de um mundo infinito teria de ser encarado como concluída; ou seja, um tempo infinito teria de ser encarado como decorrido, durante a enumeração de todas as coisas coexistentes.

Isto vem a pergunta feita freqüentemente pelos filósofos: seria o mundo existir se não houvesse inteligência capaz de conceber a sua existência? Kant diz que não; Assim, voltamos ao ponto feito perto do início deste artigo ou seja, que a coleção de inteiros não é infinito, pois nunca podemos enumerar mais do que um número finito.

Pouco progresso estava sendo feita sobre a questão do infinito real. Os mesmos argumentos mantidos em aparecer sem qualquer progresso definido para uma melhor compreensão. Gauss , em uma carta para Schumacher em 1831, manifestou-se contra o infinito real: 

• Eu protesto contra o uso de magnitude infinita como algo concluído, o que em matemática nunca é admissível. O infinito é apenas uma façon de parler, o verdadeiro significado de ser um limite que certos índices abordagem indefinidamente perto, enquanto outros estão autorizados a aumentar sem restrição.

Talvez um dos eventos mais importantes no desenvolvimento do conceito de infinito foi Bernard Bolzano 's Paradoxos do infinito , que foi publicado em 1840. Ele argumenta que o infinito existe e seu argumento envolve a idéia de um conjunto que ele definiu para a primeira vez: 

• Eu chamo um conjunto uma coleção em que a ordem de suas partes é irrelevante e que nada de essencial é alterada se apenas a ordem é alterada.

Por que a definição de um conjunto tornar o real uma realidade infinita? A resposta é simples. Uma vez que se pensa de inteiros como um conjunto, então não é uma entidade única que deve ser realmente infinito. Aristóteles iria olhar para os números inteiros a partir do ponto de vista que se pode encontrar arbitrariamente grandes subconjuntos finitos. Mas uma vez que se tem o conceito conjunto, em seguida, estes são vistos como subconjuntos do conjunto de números inteiros que se deve ser realmente infinito. Talvez surpreendentemente Bolzano não usa esse exemplo de um conjunto infinito, mas sim olha para todas as proposições verdadeira:

• A classe de todas as proposições verdadeiras é facilmente visto ser infinito. Para se fixarmos nossa atenção sobre qualquer verdade colhidas aleatoriamente e identifique-A, nós achamos que a proposição veiculada pelas palavras "A é verdade" é distinta da proposição em si A ...

Nesta fase, o estudo matemático do infinito se muda para a teoria dos conjuntos e nós remetemos o leitor para o artigo Começo da teoria dos conjuntos para obter mais informações sobre Bolzano contribuição 's, e também o tratamento do infinito por Cantor , que construiu uma teoria de diferentes tamanhos de borda infinita com suas definições de cardeal e números ordinais.

O problema dos infinitesimais foi colocado em uma base matemática rigorosa por Robinson com seu famoso texto de 1966, análise fora do padrão. Kreisel escreveu: 

• Este livro, que apareceu apenas 250 anos depois de Leibniz morte ", apresenta uma teoria rigorosa e eficiente dos infinitesimais obedecendo, como Leibniz queria, as mesmas leis que os números ordinários.

Fenstad, em, olha para o infinito e análise fora do padrão. Ele também examina seu uso em modelagem de fenômenos naturais.

Referência de informação

The article is a translation of the content of this work: School of Mathematics and Statistics
University of St Andrews, Scotland - J J O'Connor and E F Robertson - Infinito

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