Topologia Escocêsa, Física e Matemática

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Topologia Escocêsa, Física e Matemática
Geometria e Topologia
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Os físicos matemáticos escoceses referidos no título são Thomson, Maxwell e Tait. Estes três envolveram-se em conceitos topológicos, na teoria do nó particular, porque entrou suas considerações físicas de forma natural. Em 1847 anúncio publicado Vorstudien zur Topologia e então Riemann publicou papéis importantes na análise complexa em 1851 e 1857 que investigou a conectividade e superfícies de Riemann. Os físicos matemáticos escoceses não sabiam destes papéis até muito mais tarde, mas Helmholtz, cujo papel de 1858 diretamente os influenciou construído em ideias de Riemann.



Em 1858, Helmholtz publicou seu importante papel no jornal de Crelle no movimento de um fluido perfeito. Papel do Helmholtz Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen começou por decompor o movimento de um fluido perfeito em tradução, a rotação e a deformação. Foi este aspecto que primeiro interessado Tait's que viu que, usando os quatérnios de Hamilton, ele poderia expressar a velocidade do fluido em função “vector". No entanto, as ideias no papel o que eventualmente levou os físicos matemáticos escoceses para considerações topológicos preocupados vórtice linhas e tubos de vórtice. Helmholtz definidas linhas de vórtice como linhas coincidentes com a direção local do eixo de rotação do fluido e tubos de vórtice como feixes de linhas vórtex através de um elemento infinitesimal de área. Helmholtz revelou que os tubos de vórtice para close-up e também que as partículas em um tubo de vórtice em qualquer determinado momento permaneceriam no tubo indefinidamente então não importa o quanto o tubo foi distorcido iria manter a sua forma.

Helmholtz estava ciente das ideias topológicas em seu papel, particularmente o fato de que a região fora um tubo de vórtice foi multiplicar conectados que o levou a considerar funções potenciais de vários valores. Ele descreveu suas conclusões teóricas sobre dois anéis de vórtice circular com um eixo comum de simetria da seguinte forma:

Se ambos têm o mesmo sentido de rotação, prosseguirei no mesmo sentido e o anel na frente vão ampliar-se e mover-se mais lento, enquanto a segunda vai encolher e rápido, se as velocidades de tradução não são muito diferentes, que a segunda será Finalmente alcançar o primeiro... e passar por ela. Então o mesmo jogo será repetido com o outro anel, assim o anel passará alternadamente um ao outro.

Como já mencionado Tait's do primeiro interesse em Helmholtz' papel foi porque ele viu aplicações de quaternions lá. Não foi até 1867 que Tait verificada Helmholtz' reivindicações teóricas a respeito de dois anéis de vórtice circular com experiências com anéis de fumaça.

Ele usou duas caixas cada, com um diafragma de borracha que disparou nos anéis de fumo branco quando o diafragma foi atingido. Thomson escreveu que Helmholtz em 22 de janeiro de 1867:

... há alguns dias Tait's mostrou-me em Edimburgo uma magnífica forma de produzir [anéis de vórtice]. Nós às vezes podemos fazer um anel disparar através de outro, ilustrando perfeitamente sua descrição; Quando um anel passa perto de outro, cada um é muito perturbado e é visto em um estado de vibração violenta por alguns segundos, até que se acalma de novo em sua forma circular. ... As vibrações fazem um belo tema para trabalho matemático.

Estas experiências foram têm uma grande influência na Thomson, que viu a permanência da forma como uma possível explicação para átomos e, portanto, explicar a maneira que os diferentes elementos poderiam ser construídos. É notável que Thomson foi capaz de desenvolver suas ideias rapidamente o suficiente que ele poderia publicar em átomos de vórtice no processo da sociedade real de Edimburgo ainda em 1867. Neste artigo ele escreveu:

Átomo do Leucretius não explica qualquer uma das propriedades da matéria sem atribuir-lhes para o átomo em si... A possibilidade de fundar uma teoria do elástico sólida e líquida sobre a dinâmica de átomos estreitamente compactada vórtice pode ser razoavelmente antecipada.

Embora agora fosse saber que Thomson estava completamente errado, há muito em termos de raciocínio correto na citação apenas demos. Era uma ideia que também levou a interessantes questões matemáticas. Como ele escreveu no jornal mesmo:

A investigação total matemática da ação mútua entre dois anéis de vórtice de qualquer dada velocidades passando um outro em quaisquer duas linhas, então dirigidas que eles nunca vêm mais perto de um outro do que um grande múltiplo do diâmetro de qualquer um é um perfeito problema de matemático; e a novidade das circunstâncias contemplada apresenta dificuldades de carácter emocionante. Sua solução será proposta nova teoria cinética dos gases.

Thomson, como a maioria dos cientistas de seu tempo, visualizaram o espaço como sendo preenchido com um fluido perfeito, o éter. Foram, então, os átomos de vórtice atados a tubos de éter que, pela teoria de Helmholtz, manteve sua forma apesar de ser distorcida. Esta estabilidade de vórtices explicou a estabilidade dos átomos. Os átomos de vórtice, sendo construído a partir do éter, não exigido nenhum material especial. Os diferentes elementos foram contabilizados por átomos compostos de nós diferentes ou links e oscilações dos maçaricos, Thomson acreditava, explicaria as linhas espectrais que eram características dos diferentes elementos.

Tait's começou a pensar fazer nós e Thomsondo segundo documento sobre átomos de vórtice, que apareceu em 1869, incluído o diagrama de nós e ligações desenhadas por Tait. Muito antes, no entanto, Maxwell tinha entrado as discussões que prosseguiu em cartas trocadas pelos três físicos matemáticos escoceses. Ele estava interessado em knots por causa das considerações eletromagnéticas e em uma carta a Tait's escrito na 4 de dezembro de 1867 redescobriu uma fórmula integral contando o número de ligação de duas curvas fechadas que Gauss tinha descoberto, mas não publicou, em 1833. Maxwell também deu equações em três dimensões que representou curvas com nó.



No entanto, apenas quando seu trabalho estava prosseguindo rapidamente, levantou-se um grande problema. Bertrand alegou que Helmholtzdo papel de 1858, em que se fundamenta a ideia de átomos de vórtice, estava errado. Maxwell já ficou intrigado com os problemas e não estava convencido que objecções que Bertrandum golpe sério para Helmholtzdo papel. Em setembro de 1868 Maxwell escreveu vários manuscritos que estudamos nós e links. Ele se propôs o problema básico da classificação de nós e ligações como segue:

Deixe qualquer sistema de curvas fechadas no espaço dada e deixá-los ser era capaz de ter suas formas alteradas de forma contínua, desde que nenhuma duas curvas ou ramos de uma curva já passa através do mesmo ponto do espaço, propomos investigar a r necessário exaltações entre as posições das curvas e o grau de complicação das curvas diferentes do sistema.

Maxwell considerou projeções bidimensionais de links e concebeu uma forma de codificação o diagrama para indicar qual curva estava acima e que abaixo em cruzamentos nas projeções.

Ele então olhou para maneiras de modificar os diagramas sem alterar a ligação ou nó. Para uma região delimitada por um arco de que Maxwell observou que a região poderia ser eliminada pelo desenrolar da curva. Para as regiões delimitadas por dois arcos, ele observou que havia dois casos, um onde os arcos podem ser separados e região eliminados, o outro onde este não poderia ser feito sem fazer alterações em outras partes do diagrama. Para as regiões delimitadas por três arcos Maxwell observou que, novamente, houve dois casos:-

No primeiro caso qualquer uma curva pode ser movida após a interseção entre os outros dois sem perturbá-los. No segundo caso isto não pode ser feito e a interseção das duas curvas é um bar para o movimento do terceiro nessa direção.

Embora sua abordagem contida sem rigor matemático, ainda é interessante notar que, nesta fase inicial, Maxwell tinha definido os "movimentos de Reidemeister”, que iria ser mostrados para ser os movimentos fundamentais em modificar knots na década de 1920.

Em um segundo um manuscrito Maxwell , considerada uma região do espaço delimitada por uma superfície exterior do gênero n e a superfície interna do género n1, n, m ..., n,m e mostrou que a região possuía N = n+n1+n+... + nm ciclos e era (N+ 1)-ly conectado. Agora na terminologia moderna, Maxwell foi alegando que o primeiro número de Betti da região foi N. Novamente note que Maxwell não deu definições matemáticas precisas dos conceitos que estava lidando com nenhuma prova rigorosa era possível. É razoável perguntar como ele então encontrou a resposta correta. A razão foi que o Maxwelle para essa matéria Thomson também, alcançou seus resultados corretos usando o correto entendimento físico, ao invés de intuição matemática.

Estes manuscritos por Maxwell não foram publicados na época que foram escritas apesar de Tait pedindo-lhe para apresentar suas ideias sobre a teoria de nós para a sociedade real de Edimburgo para publicação. No entanto, mais de 100 anos depois que eles foram escritos esses manuscritos foram publicados em [2]. Existem três manuscritos em knots e algum tempo entre o segundo, que Maxwell escreveu em outubro de 1868 e a terceira, que ele escreveu em 29 de dezembro de 1868, ele havia lido a listagemdo 1847 papel Vorstudien zur Topologie no terceiro manuscrito, ele enumera a listade principais resultados. Em fevereiro de 1869 Maxwell apresentou um relato da listagem dos topológicos ideias para o London Mathematical Society.

Em 1869, Thomson tentou esclarecer as ideias topológicas que ele estava usando. O problema realmente tinha vindo para o fato de que, talvez não surpreendentemente, ele tinha confundido o que conhecemos hoje são dois conceitos diferentes. Ele escreveu:-
Vou chamar uma porção finita de espaço n-dobra contínua quando sua superfície delimitadora é tal que existem n caminhos irreconciliáveis entre quaisquer dois pontos nele.

Ele explica que os dois caminhos irreconciliáveis entre os pontos P e Q são caminhos que não podem ser transformados sem problemas em uns aos outros por caminhos que permanecem dentro da porção do espaço considerado. Esta definição não funciona realmente embora se pode ver Thomson lutando para chegar a uma definição de homotopia. Ele não compor suas veredas, no entanto, um ingrediente vital na definição de homotopia. Nas provas que ele deu no jornal Thomson nem tente usar sua definição mas prefiro recorre a argumentos que envolvem barreiras virtuais que deixaria de fluido fluindo. Novamente sua topologia é conduzida pelas físicas ideias de fluxo de fluido, mas esta noção, semelhante à ideia de uma "superfície de corte", que tinha introduzido Riemann e Helmholtz tinha usado, refere-se a nossa ideia de presente de dia de homologia, não de homotopia.

Por 1876 Thomson tinha feito pouco progresso com suas ideias de átomos de vórtice. Havia muitos problemas em seu caminho e de fato por este estágio ele havia conseguido não em descrever matematicamente vórtice como dois anéis que interagem, se eles não têm um eixo comum de simetria muito mais a maneira que atado vórtices que interagem. Também não havia nenhuma introspecção átomos de vórtice através de listas de knots que, na teoria de Thomson, explica os elementos químicos. Tait decidiu embarcar em uma classificação de curvas de avião fechado em 1876, escrevendo em um relatório à associação britânica para o avanço da ciência:

O desenvolvimento deste tema promete trabalho absolutamente sem fim - mas um tipo muito interessante e útil de trabalho - porque ele está intimamente ligado com a teoria de knots, que (especialmente quando aplicado na teoria de átomos de vórtice do Thomson, senhor W) é provável que em breve tornar-se um importante ramo da matemática.

Olhando para o avião fechado curvas Tait's estava considerando alternando knots, ou seja, aqueles que quando atravessando a projeção no espaço 2-dimensional travessias ir alternadamente acima e abaixo. Escolher um ponto de partida e uma direção para percorrer o caminho, ele rotulado como o primeiro, terceiro, quinto etc pontos pela A, B, C etc. A knot com cruzamentos de n A, B, C,... então seria descrita pela sequência de cruzamentos de comprimento 2n onde cada um da A, B, C,... ocorreu exatamente duas vezes quando o nó estava atravessado. Tait chamado a sequência do "esquema do nó".

Então havia dois problemas básicos para resolver. Em primeiro lugar quais sequências do tipo acima correspondem a um nó, e em segundo lugar como poderia ser determinado quando dois nós descrito por tais sequências eram os mesmos. No entanto houve alguns outros problemas, por exemplo, embora uma sequência de comprimento 10, dizem, pode representar um nó pode ser um com menos de 5 cruzamentos. Pode ser um nó que pode ser reduzido a um com menos cruzamentos. Por exemplo, se a projeção contida num cruzamento que dividido a curva em duas partes que não se cruzam, então isso foi um nugatory travessia que pode ser removida por uma reviravolta.

Tait conjecturou que um diagrama alternando sem cruzamentos nugatory conteria o número mínimo de cruzamentos. Isto se tornou conhecido como primeira conjectura do Tait's. Ele deu uma "prova" que mostrou que apenas nugatory cruzamentos permitidos o número de passagens para ser reduzido. No entanto, isso não é bom o suficiente para lá pode ser uma sequência de movimentos que primeiro aumentar o número de cruzamentos e, em seguida, movimentos mais reduzem ao menos número de passagens do que havia originalmente. Se interpretarmos Tait em um formulário que ele parece ter usado a conjectura, ou seja, que dois diagramas alternados sem cruzamentos nugatory que representa o mesmo nó principal relacionam-se por uma sequência de reviravoltas, então pegamos o que tem sido chamados de Tait a segunda conjectura. Isto não foi finalmente provado até 1993.

Sem qualquer teoria rigorosa, que teria sido bem além da matemática do século XIX, Tait's começou a classificar knots usando sua intuição geométrica e matemática. Ele sabia que o que era realmente necessário era um invariante de nó, que é algo que seria independente da maneira que o nó foi representado em duas dimensões. Primeiro, ele olhou para constantes numérico e considerado o número mínimo de cruzamentos que um determinado nó pode ter em um dois representação dimensional. Ele conduziria ao Tait's do primeira conjectura para alternados knots.

Outra ideia que parecia promissor para Tait's foi o "beknottedness", que ele definiu como segue. Viagem rodada o diagrama de nó e imediatamente após cada lance de passagem um cobre se a travessia foi acima da moeda à esquerda e à direita, uma moeda de prata, ou lançar uma moeda de prata para a esquerda e uma moeda de cobre para a direita, se a travessia foi abaixo.

Isto levou a:

Tait , então, definido "beknottedness" (agora conhecido como o número de torção) como o excesso de cruzamentos de prata sobre cobre. Se apenas diagramas sem cruzamentos nugatory foram considerados então Tait acredita-se que se tratava de um nó invariável. Na verdade não é, mas para alternados knots, é uma invariável e este facto é uma consequência da conjectura de Tait da segunda (um teorema desde 1993). Ele tentou outras ideias mais obviamente físicas como considerando o nó como um circuito e olhando para o trabalho feito por uma partícula magnética, levada por uma corrente com o nó. Ele tentou outra ideia que a princípio parecia muito promissor para ele, ou seja, o número mínimo de cruzamentos que precisa ser mudado para sob o over (ou vice-versa) para desatar o nó. Seu primeiro pensamento foi que esta seria a metade do beknottedness. Ele logo viu que não era assim. Vendo que os dois conceitos são distintos Tait's mudou suas definições e chamou o número mínimo de passagens que precisam ser alteradas para desatar o diagrama o beknottedness e ele chamou o número mínimo de passagens, o knottiness.

Listagem havia introduzido polinômios em variáveis associadas com um nó. Estes foram produzidos, marcando os quatro cantos de um cruzamento l ou r (para a esquerda da direita), de acordo com uma regra que novamente relacionado ao cargo sob cruzamentos. Estes polinômios não eram constantes, no entanto. Tait tentou uma ideia semelhante, onde ele marcou as regiões do gráfico l ou r e depois conectado r regiões com um laço múltiplo da ordem o número de passagens na fronteira entre as duas regiões. Ele se inspirou para fazer isto por analogia com representações químicas inventadas pelo seu colega (e cunhado) Alexander Crum Brown.

Por 1877 Tait tinha classificado todos nós com sete passagens, mas ele parou lá. Ele voltou ao tema dos knots em seu endereço para a sociedade de matemática de Edimburgo em 1883:

Achamos que se torna uma mera questão de obra qualificada para desenhar todos os nós possíveis tendo qualquer número atribuído de cruzamentos. A mão de obra necessária aumenta com extrema rapidez conforme aumenta o número de cruzamentos. ... Não foram capaz de encontrar tempo para realizar este processo mais longe do que os maçaricos com sete passagens. ... Isso é muito desejado que alguém, com o lazer necessária, deve tentar estender esta lista, se possível até 11 ...



Kirkman ler o texto do endereço do Tait'se começou a trabalhar na classificação knots com mais de sete passagens. Ele mandou Tait seus resultados no nó as projeções com até nove cruzamentos em maio de 1884, mas ele não tinha olhado com o problema de decidir qual das projeções levadas a equivalentes knots. Tait trabalhou neste lado do problema e, considerando apenas alternando knots, resolveu os problemas de equivalência dentro de algumas semanas. Tait parecia saber como dizer se dois nós éramos equivalentes sem métodos rigorosos. Ele afirma isso claramente no livro ele escreveu tabulando os maçaricos onde ele diz que seus métodos têm:

... a desvantagem de ser em maior ou menor medida provisória. Não que as regras estabelecidas... deixar algum espaço para mera adivinhação, mas eles são complexos demais para ser mantido sempre completamente no modo de exibição. Assim, não temos a certeza absoluta de que, por meio de tais processos, obtivemos todas as formas essencialmente diferentes que compreende a definição que empregamos.

Apesar dos problemas Tait sabia exatamente o que estava fazendo, notavelmente, suas tabelas estão corretas. Quando Kirkman enviou todas as projeções de nó com 10 passagens em janeiro de 1885 novo Tait's encontrou todos nó equivalente no. As tabelas foram impressos em setembro de 1885 e novamente eles estão completamente corretos. Nessa altura ele tinha recebido das projeções de 1581 nó Kirkman com 11 cruzamentos e desta vez Tait's sentiu que não tinha tempo para resolver o problema de equivalência para estas. No entanto há esta hora um matemático e engenheiro Charles N pouco tinham enviado Tait tabelas de nó que ele tinha calculado e pouco começou a estender as tabelas a knots além alternando-os e a knots com cruzamentos de onze.

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