Superfícies cúbicas
A superfície algébrica é uma das formas f ( x , y , z ) = 0 onde f ( x , y , z ) é um polinômio em x , y e z . A ordem da superfície é o grau do polinômio. A superfície da ordem um é um plano. A superfície de ordem dois é chamada de superfície quadrática e consiste em superfícies como elipsoides e hiperboloides. Estes incluem cones, cilindros e paraboloides. A superfície cuja história nos interessa neste pequeno artigo é uma superfície de ordem três que é chamada de superfície cúbica.
Em 1849, Salmon e Cayley publicaram os resultados de sua correspondência sobre o número de linhas retas em uma superfície cúbica. Foi Cayley quem, em uma carta para Salmon, mostrou pela primeira vez que só poderia haver um número finito de linhas retas em uma superfície cúbica, enquanto que Salmon provou que havia exatamente 27 linhas retas em geral. No final de seu tratado de 1865, The Geometry of Three Dimensions, Salmon descreveu como os dois haviam colaborado para encontrar o teorema de Cayley - Salmon.
Steiner já sabia do teorema de Cayley - Salmon cerca de 27 linhas retas quando começou seu próprio trabalho em superfícies cúbicas. Ele escreveu um importante artigo que deu resultados que permitiram um tratamento puramente geométrico das superfícies cúbicas. Ele provou em 1856 que:
As nove linhas retas, nas quais as superfícies de dois trihedros arbitrariamente dados se cruzam, determinam, em conjunto com um dado ponto, a superfície cúbica.
Ele introduziu a noção de uma "superfície nuclear" e investigou suas propriedades. Muitos resultados em superfícies cúbicas foram declarados por Steiner sem provas e nós comentaremos mais tarde como Cremona e Rudolf Sturm provaram muitos destes dez anos depois do artigo de Steiner.
Clebsch descreveu as representações planas de várias superfícies racionais, ele estava especialmente interessado na superfície cúbica geral. Usando a superfície de Hesse, ele deu a primeira prova de que qualquer superfície cúbica dada poderia ser escrita na forma pentaédrica que havia sido proposta por Sylvester. Outros resultados em superfícies cúbicas foram provados por Clebsch, que incluiu: existe uma covariante de ordem nove que intercepta a superfície cúbica em exatamente 27 linhas; e toda superfície cúbica lisa pode ser representada no plano usando quatro superfícies cúbicas planas através de seis pontos e vice-versa.
Foi Steiner quem comunicou a Schläfli o teorema de Cayley - Salmon em 27 linhas em uma superfície cúbica. Em 1858, Schläfli tornou-se o primeiro a classificar as superfícies cúbicas em relação ao número de linhas retas reais e planos tritangentes, descobrindo que havia exatamente cinco tipos em sua classificação. Schläfli então encontrou 36 "double sixes" nesta superfície. Ele dividiu superfícies cúbicas em 23 espécies de acordo com a natureza de suas singularidades em 1863 e publicou a classificação em seu artigo Sobre a distribuição de superfícies de terceira ordem em espécies, em referência à presença ou ausência de pontos singulares e à realidade de suas linhas. Em sua longa memória em Cubic Surfaces Cayley apresentou a classificação completa de superfícies cúbicas de Schläfli em 23 espécies distintas e ele também acrescentou mais investigações por conta própria.
Em março de 1866, Cremona publicou Memoire de geometria pure sur les superfícies du troisième ordre . Neste livro de memórias, ele estabeleceu muitas das propriedades que só foram declaradas por Steiner . Ele também estabeleceu conexões entre o teorema de Cayley - Salmon em 27 linhas em uma superfície cúbica eo Hexagrama Místico de Pascal:
Se um hexágono estiver inscrito em qualquer seção cônica, os pontos em que os lados opostos se encontram são colineares.
Para suas memórias, Cremona recebeu uma parte do Prêmio Steiner. Ele compartilhou o Prêmio com Rudolf Sturm, que estudou superfícies de terceiro grau em suas representações projetivas e também provou teoremas declarados, mas não provados, por Steiner.
Em 1869, por sugestão de Clebsch, Christian Wiener construiu gesso de modelos de superfícies cúbicas de Paris que, juntamente com outros modelos de superfícies que ele havia construído, foram exibidos em Londres em 1876, Munique em 1893 e Chicago em 1893. Klein investigou superfícies cúbicas em 1870 e sua obra mostra uma preocupação especial pela intuição geométrica em relação às construções espaciais.
O tio-avô de Karl Geiser era Steiner, então ele iniciou sua carreira matemática já tendo ligações com uma das figuras importantes no desenvolvimento da teoria das superfícies cúbicas. Talvez, portanto, não seja de surpreender que ele deva fazer sua mais importante contribuição de pesquisa em superfícies cúbicas. Um de seus resultados explica como as 28 tangentes duplas da quadrática do plano estão relacionadas às 27 linhas retas da superfície cúbica.
Le Paige passou toda a sua carreira na Universidade de Liège, onde trabalhou na teoria das formas algébricas, um tópico cujo estudo foi iniciado por Boole em 1841 e depois desenvolvido por Cayley, Sylvester, Hermite, Clebsch e Aronhold. Em particular Le Paige estudou a geometria de curvas e superfícies algébricas, baseando-se neste trabalho anterior. Ele é mais conhecido por sua construção de uma superfície cúbica dada por dezenove pontos. A partir da construção de uma superfície cúbica dada por uma linha reta, três grupos de três pontos em uma linha e seis outros pontos, Le Paige foi conduzido para a construção de uma superfície cúbica dada por uma linha, três pontos em uma linha e doze outros pontos. Por meio dessa construção, ele construiu uma superfície cúbica dada por três pontos em uma linha e dezesseis outros pontos, chegando finalmente a uma superfície cúbica dada por dezenove pontos.
A última pessoa que mencionaremos nesta breve história do estudo das superfícies cúbicas é Gino Fano . Fano estudada com Klein em 1893 e fez uma tradução italiana de Klein 's Programa Erlanger (1872), que deram o seu síntese de geometria como o estudo das propriedades de um espaço que são invariantes sob um dado conjunto de transformações. Foi mais tarde em sua carreira que Fano se interessou por superfícies cúbicas e superfícies algébricas em geral. Já nessa época, no entanto, o interesse por tópicos desse tipo havia diminuído um pouco.
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